Jakou mám šanci, že vyhraju ve Sportce?

Je to lákavá nabídka – vyhrát v loterii a splnit si své nejtajnější sny (koupit si auto, dům, pěknou rodinnou dovolenou a nebo zažít ten pocit, že jsem vyhrála). Ale zamysleli jste se někdy nad tím, jakou můžu mít šanci, abych ve Sportce opravdu vyhrála – a nemusí to být například zrovna hlavní cena? Pojďme se na to podívat a pomocí matematiky odkrýt onu záhadu.

Cílem Sportky je uhádnout 6 tažených čísel ze 49 možných čísel. Stačí je pouze zakřížkovat v sázence a zaplatit. Pokud jeden sloupec stojí 20 Kč a mohu vsadit na plný počet sloupců tj. 10, zaplatím tak za jeden večer 200 Kč. A to, pokud jsem pravidelný sázkař, vyjde na několik tisíc ročně (sází se dvakrát týdně; 52 týdnů => až 20 800 Kč/rok).

Jak si ale mohu sama spočítat, zda se mi to vyplatí? Stačí znát jen znalosti pravděpodobnosti a kombinatoriky.

Pravděpodobnost nám říká, s jakou šancí může něco (daný jev) nastat či nikoliv. Je to číslo mezi 0 a 1. Nula značí jev nejistý (s nulovou šancí daná situace nastane). Naproti tomu jednička značí, že se to s jistotou stane (jev jistý).

Pravděpodobnost náhodného jevu je daná jako podíl počet možností, na které se ptáme (podle zadání; příznivé jevy; značíme m), vůči počtem všem možností, které mohou nastat (počet všech možných variant; značíme n).

P(jevu)=\frac{m}{n}

V našem případě hledáme pravděpodobnost, že uhádneme všech 6 čísel ze 49. Musíme tedy najít počet všech možností, které mohou nastat, čili všechny varianty takové, že ze 49 čísel vytvoříme šestice. Hledáme tedy kombinace takové, že ze 49 čísel tvoříme 6-tice (např. první – 1,2,3,4,5,6, druhá – 1,3,4,5,6,7, apod.). Takovýchto variant bude opravdu hodně, proto použijeme znalosti kombinačního čísla. Čili hledáme kombinační číslo 6 and 49.

C(n,k) = {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!
\displaystyle \cdot k!}

C(49,6) = {49 \choose 6} = 13.983.816

Máme tady celkem skoro 14 milionů možností, které bychom mohli tipnout. Nicméně během jednoho losování, může vyhrát pouze jedna jediná unikátní kombinace (resp. ze všech 6 výherních vybereme 6 a zároveň žádný ze 43 nevýherních (49-6)). Čili pravděpodobnost výhry je pak:

\frac{{6 \choose 6} {43 \choose 0} }{49 \choose 6}  = \frac{1*1}{13.983.816} = 0, 000.000.071

Jak vidíme šance na výhru je opravdu velmi velmi malá. Jedná se zhruba o sedm miliontin procenta. Nicméně losují se dva tahy, takže pravděpodobnost toho, že vyhrajeme je dvojnásobná. Čili pravděpodobnost, že bych ve dvou tazích mohla vyhrát hlavní cenu je: 0,000.000.142 (stále poměrně nerealistická; nulová).

A co teprve, pokud bychom chtěli vyhrát Superjackpot. K tomu, abychom ho mohli vyhrát, je třeba správně určit poslední tažené číslo (sedmé). Zde se vybírá jen jedno číslo z 10. Zároveň je třeba mít vyplněno všech 10 sloupečků. Matematicky tedy stačí výsledek pravděpodobnosti, že vytáhneme 6 čísel ještě vynásobit jednou desetinou (je tedy ještě o desetinu menší – 0,000.000.014).

Podobným způsobem můžeme vypočítat i variantu, že uhodneme jenom 3 čísla z 6 tažených (tato varianta je i realističtější). Pokud uhodneme 3 čísla ze 6 tažených. Táhneme tedy 3 z 6 výherních a 3 z 43 (49-6) nevýherních (dohromady táhneme 6 čísel). Dostáváme tuto pravděpodobnost:

\frac{{6 \choose 3}{43\choose 3}}{49 \choose 6}  = \frac{20*12.341}{13.983.816} = \frac{246.820}{13.983.816} = 0, 017.650

Čili pravděpodobnost, že uhodneme 3 výherní čísla ze Sportky je 1,7%.

Problematika sázení, sázkového kurzu a výhry samotné je mnohem složitější. V tomto článku se snažím jenom zjednodušeně přiblížit problematiku sázení a její výhry. Nicméně už po přečtení tohoto článku víte jedno. Šance, že bychom vyhráli ve Sportce, existují, ovšem jsou opravdu malé.